球的体积积分

分类:积分指南浏览量:2873发布于:2021-04-18 01:27:16

解答:在空间直角坐标系中.球体的方程:x^2+y^2+z^2=r^2 沿着x轴正方向,球体被分成若干个圆,他们以x轴为圆心,半径 R为x的函数R(x)=√r^2-x^2 体积V=π∫(√r^2-x^2)^2dx(积分上限为r,下限为-r)=(4/3)r^3

v=2π∫(y∧2)dx(上下界为0,r)=2π∫(r^2-x^2)dx(上下界为0,r)=2π[x(r^2)-(x^3)/3](上下界为0,r)=2π[2(r^3)/3]=4π(r^3)/3 注意r^2-x^2=y^2,代入积分化简即得到球体积公式

将一个底面半径R高为R的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎.剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等.等出它们体积相等的结论.而那个被挖体的体积好求.就是半球体积了.V=2/3πR^3 .因此一个整球的体积为4/3πR^3 球是圆旋转形成的.圆的面积是S=πR^2,则球是它的积分,根据积分公式可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3

设球的半径为r,圆:x²+y²=r², ∴ x² = (r² - y²) 切片面积: A = π x²切片体积:δv = A * δy,∴ δv = π x² δy, 综上:δv = π (r² - y²) δy v = ∫{[π (r² - y²)],-r, r} dyv = π

呵呵 我用简单的定积分做吧 首先球的体积可以理解为球的最外层是一个球壳 然后再套一个球壳一直这样无限的发展下去 这些球壳的表面积之和就是球的体积 所以积分上限是最外层的球壳半径r,下限显然就是最里边一层的球壳此时已经近似等于球心 所以取下限0 所以v球=积分上限(r)下限(0)(4pai r^2)=4/3pai r^3 =================== 这个就是比较好理解的微积分推导了 当然还有用二重积分推导也可以

先推导上半球的体积,再乘以2就行. 假设上半球放在地平面上,(半径r). 考虑高度为h处的体积,从h变化到h+dh过程中,体积可以看出是一个圆柱体的体积,这个圆柱体 高为dh,半径^2+h^2=r^2.由此可知此圆柱体的体积表达式.然后把表达式对h积分,从0积到r(因为h最高能达到r).做完这个定积分,就是上半球的体积了.再乘以2就是整个球的体积. 谢谢

取被积函数=1时的,以球面坐标系展开的三重积分即可得球体体积.该方法通过改变积分限还可以求解任何类型的球体体积问题,比如说球壳体积问题.

体积:把半球看成圆柱体减去等底等高的锥体.表面积我忘了,呵呵.

在-r到r上,球的上下两部分是对称的,所以t的范围应该是0到r,最后求得的积分结果乘以4 ∫(0,π)da∫(0,r)根号下(r²-t²)*(-1/2)d(r²-t²)=∫(0,π)da (-1/2)(2/3)(r²-t²)的3/2次方丨从0到r=∫(0,π)1/3r的三次方da =1/3πr的三次方 v=4*1/3πr的三次方=4/3πr的三次方 不好意思,很多符号不会打,希望能看懂哈

没什么公式,要求球的体积用球面坐标变换计算一个很简单滴三重积分,即I=∫∫∫F(r,ψ,θ)r^2sinψdrdψdθ,当积分区域Ω为球面r=a所围成时,此时I就是球滴体积算出来为4\3πa^3;表面积就用重积分的应用算,即A=∫∫[1+(z'x)^2+(z'y)^2]^1\2dxdy,取上半球面方程为z=(a^2-x^2-y^2)^1\2,半径为a,则它在xoy面上的投影区域D={(x,y)│x^2+y^2≤a^2},算出来是2πa^2,因为是半个球,所以乘个2就完了,很基础滴.

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